Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.1.2.5

Divida $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Etapa 6.3.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Etapa 7

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ .

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Etapa 8

Resolva $C$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Etapa 8.2

Divida $C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Etapa 8.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.3.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 8.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Etapa 8.3.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Etapa 9

Substitua $\frac{3}{2}$ por $C$ em $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ e simplifique.

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Etapa 9.1

Substitua $\frac{3}{2}$ por $C$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$