Cálculo Exemplos

$(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{4} - x + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4} - x + y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Como $x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{4}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + 1$

Etapa 1.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $0$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1$

Etapa 1.6.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 + 1}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $- x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- x$ por $N$ .

$\frac{1 + 1}{- x}$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{- x}$

Etapa 4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(x^{4} - x + y) d x - x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $x^{4} - x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{4} - x + y) \frac{1}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{4} - x + y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- x$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 6.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} d x - \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{x} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{1}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y + C$

Etapa 8.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x} + g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{y}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{y}{x}$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$y x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine $y$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{4} - x + y}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{x^{4} - x + y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - (x^{4} - x + y)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} - - x - y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + 1 x - y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y - x^{4} + x - y}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $y - x^{4} + x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x + 0}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- x^{4} + x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{4} + x}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.1

Fatore $x$ de $- x^{4} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.1.1

Fatore $x$ de $- x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x^{1}}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3}) + x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.1.4

Fatore $x$ de $x (- x^{3}) + x \cdot 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.2

Reescreva $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.3

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ({(- x)}^{3} + 1^{3})}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.4

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = - x$ e $b = 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.4

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1.5.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.1.5.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

$\frac{d g}{d x} + \frac{x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.2.1

Fatore $x$ de $x (- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x ((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}{x \cdot x} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Para escrever $\frac{d g}{d x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{d g}{d x} x + (- x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.1

Expanda $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.2.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.2.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x \cdot x - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.4

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.3

Combine os termos opostos em $- x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.3.1

Some $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + 0 + x + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.3.2

Some $- x^{3} - x$ e $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} - x + x + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.3.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 0 + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.1.8.3.4

Some $- x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1}{x} = 0$

Etapa 12.1.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\frac{d g}{d x} x - x^{3} + 1 = 0$

Etapa 12.1.3

Resolva a equação para $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1.1

Some $x^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} x + 1 = x^{3}$

Etapa 12.1.3.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$

Etapa 12.1.3.2

Divida cada termo em $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.1

Divida cada termo em $\frac{d g}{d x} x = x^{3} - 1$ por $x$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d g}{d x} x}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.1.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 12.1.3.2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.1.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + \frac{- 1}{x}$

Etapa 12.1.3.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x^{2} - \frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 13.6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - (\ln (| x |) + C)$

Etapa 13.7

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{1}{3} x^{3} - \ln (| x |) + C$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + \frac{x^{3}}{3} - \ln (| x |) + C$