Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8$ ; cuando $f (3) = - 6$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} - 24 x + 8 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 24 x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.6

Como $- 24$ é constante com relação a $x$ , mova $- 24$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 \int x d x + \int 8 d x$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Etapa 2.3.8

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Etapa 2.3.9.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Etapa 2.3.9.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Etapa 2.3.9.2

Simplifique.

$y + C_{1} = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $- 6$ por $y$ em $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ .

$- 6 = 3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$ .

$3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2

Simplifique $3^{4} - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$81 - 3^{3} - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$81 - 1 \cdot 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$81 - 27 - 12 \cdot 9 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $9$ .

$81 - 27 - 108 + 8 \cdot 3 + K = - 6$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $8$ por $3$ .

$81 - 27 - 108 + 24 + K = - 6$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $27$ de $81$ .

$54 - 108 + 24 + K = - 6$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $108$ de $54$ .

$- 54 + 24 + K = - 6$

Etapa 4.2.2.3

Some $- 54$ e $24$ .

$- 30 + K = - 6$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $30$ aos dois lados da equação.

$K = - 6 + 30$

Etapa 4.3.2

Some $- 6$ e $30$ .

$K = 24$

Etapa 5

Substitua $24$ por $K$ em $y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $24$ por $K$ .

$y = x^{4} - x^{3} - 12 x^{2} + 8 x + 24$