Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 \sqrt{y}$ , $y (1) = 16$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (6 \sqrt{y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{\sqrt{y}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.3.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{\sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.4

Combine $6$ e $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.5

Multiplique $\frac{6 \sqrt{y}}{y} \sqrt{y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Combine $\frac{6 \sqrt{y}}{y}$ e $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 \sqrt{y} \sqrt{y}}{y}$

Etapa 1.2.5.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y})}{y}$

Etapa 1.2.5.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1})}{y}$

Etapa 1.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{1 + 1}}{y}$

Etapa 1.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {\sqrt{y}}^{2}}{y}$

Etapa 1.2.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Etapa 1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Etapa 1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Etapa 1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Etapa 1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y^{1}}{y}$

Etapa 1.2.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{6 y}{y}$

Etapa 1.2.7.2

Divida $6$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 6$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 6 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 6 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 6 d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 6 x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = 6 x + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{6 x}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{3 x}{1} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.3.1.2.4

Divida $3 x$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = 3 x + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(3 x + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ .

$y = (3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(3 x + \frac{K}{2}) (3 x + \frac{K}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 x (3 x + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 3 x (3 x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = 9 x^{2} + 3 x \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Multiplique $3 x \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + x \frac{3 K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4.2

Combine $x$ e $\frac{3 K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{x (3 K)}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 \cdot x K}{2} + \frac{K}{2} (3 x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + 3 \frac{K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.7

Combine $3$ e $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K}{2} x + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8

Combine $\frac{3 K}{2}$ e $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.5

Some $1$ e $1$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.9.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 x K}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Some $\frac{3 x K}{2}$ e $\frac{3 K x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Mova $x$ .

$y = 9 x^{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $\frac{3 K x}{2}$ e $\frac{3 K x}{2}$ .

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$y = 9 x^{2} + 2 \frac{3 K x}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$y = 9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.4

Simplifique $9 x^{2} + 3 K x + \frac{K^{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $9 x^{2}$ .

$y = 3 K x + \frac{K^{2}}{4} + 9 x^{2}$

Etapa 3.4.2

Reordene $3 K x$ e $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + 3 K x + 9 x^{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = K + K x + 9 x^{2}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $16$ por $y$ em $y = K + K x + 9 x^{2}$ .

$16 = K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$ .

$K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Etapa 6.2

Simplifique $K + K \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $K$ por $1$ .

$K + K + 9 \cdot 1^{2} = 16$

Etapa 6.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$K + K + 9 \cdot 1 = 16$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$K + K + 9 = 16$

Etapa 6.2.2

Some $K$ e $K$ .

$2 K + 9 = 16$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$2 K = 16 - 9$

Etapa 6.3.2

Subtraia $9$ de $16$ .

$2 K = 7$

Etapa 6.4

Divida cada termo em $2 K = 7$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Divida cada termo em $2 K = 7$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 6.4.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Etapa 7

Substitua $\frac{7}{2}$ por $K$ em $y = K + K x + 9 x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{7}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{7}{2} + K x + 9 x^{2}$