Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 3}$ ; and , $y (3) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (t + 2 e^{t - 3}) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 3} d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 3} d t$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 3} d t$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = t - 3$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = t - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $t - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $t$ e $4$ por $y$ em $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ .

$4 = \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{3 - 3} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 2 e^{0} + K = 4$

Etapa 4.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

Etapa 4.2.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{9}{2} + 2 + K = 4$

Etapa 4.2.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

Etapa 4.2.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

Etapa 4.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{9 + 4}{2} + K = 4$

Etapa 4.2.6.2

Some $9$ e $4$ .

$\frac{13}{2} + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{13}{2}$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - \frac{13}{2}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 4.3.3

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 13}{2}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$K = \frac{8 - 13}{2}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $13$ de $8$ .

$K = \frac{- 5}{2}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{5}{2}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{5}{2}$ por $K$ em $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{5}{2}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} - \frac{5}{2}$

Etapa 5.3

Para escrever $2 e^{t - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Etapa 5.4

Combine $2 e^{t - 3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 3} \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Etapa 5.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 3}}{2} - \frac{5}{2}$