Cálculo Exemplos

$(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} - y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y^{2} - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y^{2}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $4 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - 1 = 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$4 x y - 1 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $2 x y^{2} - y$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2 x y^{2} - y$ por $M$ .

$\frac{1 - (4 x y - 1)}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - (4 x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) - - 1}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - 4 (x y) + 1}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 x y + 2}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $2$ de $- 4 x y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $2$ de $- 4 x y$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x y) + 2 (1)}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (- 2 x y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{2 x y^{2} - y}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y$ de $2 x y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $y$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) - y}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y) + y \cdot - 1}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y$ de $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 (- 2 x y + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $- 2 x y + 1$ e $2 x y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (- (2 x y) + 1)}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y) - 1 (- 1))}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4.4

Reescreva $- (2 x y - 1)$ como $- 1 (2 x y - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (2 x y - 1))}{y (2 x y - 1)}$

Etapa 4.3.4.6

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.6

Substitua $2 x y^{2} - y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(2 x y^{2} - y) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $2 x y^{2} - y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(2 x y^{2} - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x y^{2} - y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y$ de $2 x y^{2} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $y$ de $2 x y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{y (2 x y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y$ de $y (2 x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 x y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{2 x y - 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 8.2

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 8.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Etapa 8.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reescreva $x (- y^{- 1} + C)$ como $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 8.5.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{x}{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $- \frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = \frac{2 x y - 1}{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{2 x y - 1}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} - \frac{2 x y - 1}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y - 1)}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - (2 x y) - - 1}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 (x y) - - 1}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 - 2 x y + 1}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 1 - 2 x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y + 0}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Some $- 2 x y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Etapa 12.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $2 x$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Etapa 13.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Etapa 13.5.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + x^{2} + C$