Cálculo Exemplos

$x y d x + (1 + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$(1 + x^{2}) d y = - x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1 + x^{2}$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Etapa 3.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Combine $\ln (| 1 + x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.3

Para escrever $\ln (| y |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.4.1

Combine $\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2}$ .

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Etapa 5.6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.6.1.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2} = C$

Etapa 5.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |) = C$

Etapa 5.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | 1 + x^{2} |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(y^{2} | 1 + x^{2} |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.4

Aplique a regra do produto a $y^{2} | 1 + x^{2} |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.6.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (y^{1} {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.6.1.6

Simplifique.

$\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 5.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Etapa 5.8

Reescreva $\ln (y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.9

Resolva $y$ .

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Etapa 5.9.1

Reescreva a equação como $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Etapa 5.9.2

Divida cada termo em $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 5.9.2.1

Divida cada termo em $y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ por ${| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.9.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y {| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.9.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$