Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $28$ é constante com relação a $t$ , mova $28$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 7 t^{2} - 5$ . Depois, $d u = 14 t d t$ , então, $\frac{1}{14} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 7 t^{2} - 5$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 t^{2} - 5$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t^{2}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5$ em relação a $t$ é $0$ .

$14 t + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $14 t$ e $0$ .

$14 t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{14}$ e $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $28$ e $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $14$ de $28$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $14$ de $14$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $14$ por $s$ em $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ .

$14 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 14$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 14$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 14$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 14$

Etapa 4.2.2

Subtraia $5$ de $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Fatore $2$ de $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Etapa 4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Etapa 4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$2^{3} + K = 14$

Etapa 4.2.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 + K = 14$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$K = 14 - 8$

Etapa 4.3.2

Subtraia $8$ de $14$ .

$K = 6$

Etapa 5

Substitua $6$ por $K$ em $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $6$ por $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + 6$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Use o teorema binomial.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{4}$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a regra do produto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.5

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.7

Multiplique $343$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.8

Multiplique $- 5$ por $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.9

Aplique a regra do produto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.10

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.11

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.12

Multiplique $49$ por $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.13

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.14

Multiplique $25$ por $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.15

Multiplique $7$ por $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.16

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.17

Multiplique $- 125$ por $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) + 6$

Etapa 5.2.2.18

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) + 6$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4

Simplifique.

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Combine $2401$ e $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.1.2

Combine $\frac{2401}{2}$ e $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Fatore $2$ de $- 6860 t^{6}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Fatore $2$ de $7350 t^{4}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.3.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.3.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.4.1

Fatore $2$ de $- 3500 t^{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.4.2

Cancele o fator comum.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.4.3

Reescreva a expressão.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 + 6$

Etapa 5.2.4.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + 6$

Etapa 5.3

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.4

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 + 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 + 12}{2}$

Etapa 5.6.2

Some $625$ e $12$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{637}{2}$