Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y \sqrt{y + 1}$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - y \sqrt{y + 1} \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y \sqrt{y + 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $y \sqrt{y + 1}$ de $- y \sqrt{y + 1}$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- 1) \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} \cdot - 1 \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y \sqrt{y + 1} d y = (- x^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y \sqrt{y + 1} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = \sqrt{y + 1}$ .

$y (\frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.2.2

Combine $y$ e $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y) = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.4

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.4.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.4.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}) = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Reescreva $\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1})$ como $\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y$ .

$\frac{2 y}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Combine $\frac{2 y}{3}$ e ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.3

Multiplique $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.6

Para escrever $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.7

Combine $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.9

Combine $u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{4}{15}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.10

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.11

Combine $- 3$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.12

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.13

Fatore $3$ de $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.14.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.16

Para escrever $2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.17

Combine $2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.19

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.20

Reescreva $\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ como um produto.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.21

Multiplique $\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6.2.22

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) = - \frac{1}{3} x^{3} - x + K$