Cálculo Exemplos

$e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ , $y (0) = \frac{1}{4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ por $e^{t}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $e^{t} \frac{d y}{d t} = y^{2}$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t} \frac{d y}{d t}}{e^{t}} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{t}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{t}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{t}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{t}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Negative o expoente de $e^{t}$ e o mova para fora do denominador.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{t})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{t})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{t \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot t} d t$

Etapa 2.3.1.2.1.3

Reescreva $- 1 t$ como $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- t} d t$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $e^{- t}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- t} d t$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = - t$ . Depois, $d u = - d t$ , então, $- d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = - t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- t} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - e^{- t} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- t} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - e^{- t} y + K y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $- e^{- t} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- t} + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- y e^{- t} + K y = - 1$ .

$- y e^{- t} + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $- y e^{- t} + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $- y e^{- t}$ .

$y (- 1 e^{- t}) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (- 1 e^{- t}) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y (- 1 e^{- t}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- t} + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$y (- e^{- t} + K) = - 1$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (- e^{- t} + K) = - 1$ por $- e^{- t} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (- e^{- t} + K) = - 1$ por $- e^{- t} + K$ .

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{- t} + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- e^{- t} + K)}{- e^{- t} + K} = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- t} + K}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{- e^{- t} + K}$

Etapa 3.3.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- e^{- t}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) + K}$

Etapa 3.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t}) - 1 (- K)}$

Etapa 3.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (e^{- t}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- t} - K)}$

Etapa 3.3.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.5.1

Reescreva $- (e^{- t} - K)$ como $- 1 (e^{- t} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- t} - K)}$

Etapa 3.3.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{1}{e^{- t} - K}$

Etapa 3.3.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- t} - K}$

Etapa 3.3.4.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{e^{- t} - K}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} - K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{1}{e^{- t} + K}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $\frac{1}{4}$ por $y$ em $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ .

$\frac{1}{4} = \frac{1}{e^{0} + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{0} + K} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1 + K, 4$

Etapa 6.3.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.3.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 6.3.4

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 6.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 6.3.6

O fator de $1 + K$ é o próprio $1 + K$ .

$(1 + K) = 1 + K$

$(1 + K)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 6.3.7

O MMC de $1 + K$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$1 + K$

Etapa 6.3.8

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$4 (1 + K)$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ por $4 (1 + K)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{1 + K} = \frac{1}{4}$ por $4 (1 + K)$ .

$\frac{1}{1 + K} (4 (1 + K)) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{1}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{1 + K}$ .

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.2.3

Cancele o fator comum de $1 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{1 + K} (1 + K) = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$4 = \frac{1}{4} (4 (1 + K))$

Etapa 6.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$4 = 1 + K$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $1 + K = 4$ .

$1 + K = 4$

Etapa 6.5.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - 1$

Etapa 6.5.2.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$K = 3$

Etapa 7

Substitua $3$ por $K$ em $y = \frac{1}{e^{- t} + K}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $3$ por $K$ .

$y = \frac{1}{e^{- t} + 3}$