Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $1 + 2 y$ .

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = (1 + 2 y) \frac{2 x}{1 + 2 y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(1 + 2 y) \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(1 + 2 y) d y = 2 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 + 2 y d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int 2 y d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{1} + 2 \int y d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique.

$y + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + 1 y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y + y^{2} + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.6

Reordene os termos.

$y^{2} + y + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y^{2} + y + C_{3} = 2 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} + y + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + y + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} + y + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} + y = x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + y - x^{2} = K$

Etapa 3.1.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$y^{2} + y - x^{2} - K = 0$

Etapa 3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = - x^{2} - K$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- x^{2}) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

Etapa 3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + 4 K + 1}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x^{2} + K}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x^{2} + K}}{2}$