Cálculo Exemplos

$2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x) d x + e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)]$

Etapa 1.2

Como $2 e^{2 x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ em relação a $y$ é $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y (x^{2} - y + x)]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = x^{2} - y + x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \frac{d}{d y} [x^{2} - y + x] + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.2

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + \frac{d}{d y} [x]) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.7

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y (- 1 + 0) + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.8.1

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (y \cdot - 1 + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.8.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- 1 \cdot y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.8.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + (x^{2} - y + x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.10

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.10.1

Multiplique $x^{2} - y + x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (- y + x^{2} - y + x)$

Etapa 1.4.10.2

Subtraia $y$ de $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} (x^{2} - 2 y + x)$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} (- 2 y) + 2 e^{2 x} x$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} - 2 y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{2 x}$ e $g (x) = x^{2} - 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 y] + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 y]) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.3

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x + 0) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 2.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (x^{2} - 2 y) e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 2.5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $(x^{2} - 2 y) e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 \cdot ((x^{2} - 2 y) e^{2 x})$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + (2 x^{2} + 2 (- 2 y)) e^{2 x}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} + 2 (- 2 y) e^{2 x}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 x) + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Etapa 2.6.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$

Etapa 2.6.5

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} x + 2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 e^{2 x} x^{2} - 4 e^{2 x} y + 2 e^{2 x} x = 2 x e^{2 x} + 2 x^{2} e^{2 x} - 4 y e^{2 x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} (x^{2} - 2 y) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{2 x} (x^{2} - 2 y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $e^{2 x}$ é constante com relação a $y$ , mova $e^{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int x^{2} - 2 y d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = e^{2 x} (\int x^{2} d y + \int - 2 y d y)$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C + \int - 2 y d y)$

Etapa 5.4

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 \int y d y)$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y + C - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x} (x^{2} y - y^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} y - y^{2}] + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x} (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.5

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (y (2 x) + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.9

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$e^{2 x} (2 \cdot y x + 0) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.10

Some $2 y x$ e $0$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.12

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + (x^{2} y - y^{2}) (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.3.13

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} y - y^{2}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y - y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} (2 y x) + (2 (x^{2} y) + 2 (- y^{2})) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} (2 y x) + 2 (x^{2} y) e^{2 x} + 2 (- y^{2}) e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.5.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{2 x} (2 y x) + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 8.5.4

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} x y + 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$

Etapa 9.1.2

Simplifique $2 y e^{2 x} (x^{2} - y + x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y e^{2 x} (- y) + 2 y e^{2 x} x$

Etapa 9.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 (y \cdot y) e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

Etapa 9.1.2.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} + 2 y^{2} e^{2 x} \cdot - 1 + 2 y e^{2 x} x$

Etapa 9.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$

Etapa 9.1.2.4

Reordene os fatores em $2 y e^{2 x} x^{2} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y e^{2 x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x}$

Etapa 9.1.3

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Subtraia $2 x y e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $2 x^{2} y e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} e^{2 x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.3

Some $2 y^{2} e^{2 x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4

Combine os termos opostos em $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y x e^{2 x} - 2 x y e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.4.1

Reorganize os fatores nos termos $2 y x e^{2 x}$ e $- 2 x y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} x y - 2 e^{2 x} x y - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.2

Subtraia $2 e^{2 x} x y$ de $2 e^{2 x} x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.3

Some $2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{2 x} - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 x^{2} y e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.4

Reorganize os fatores nos termos $2 y x^{2} e^{2 x}$ e $- 2 x^{2} y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} x^{2} y - 2 y^{2} e^{2 x} - 2 e^{2 x} x^{2} y + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.5

Subtraia $2 e^{2 x} x^{2} y$ de $2 e^{2 x} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 0 + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.6

Some $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.3.4.7

Some $- 2 y^{2} e^{2 x}$ e $2 y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y - y^{2}) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) + e^{2 x} (- y^{2}) + C$

Etapa 12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{2 x} (x^{2} y) - e^{2 x} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y e^{2 x} - y^{2} e^{2 x} + C$