Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.4.2

Divida $2 y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Etapa 1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Etapa 1.5.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 7.2.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Etapa 7.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Etapa 7.4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 7.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.7

Simplifique.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Etapa 7.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 7.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Etapa 7.9

Reescreva $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Etapa 7.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $\frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- \frac{1}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $\frac{1}{4}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Etapa 8.3.2.1

Reordene $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Para escrever $x \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $x \frac{1}{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.4

Para escrever $\frac{2 x - 1}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.5

Para escrever $\frac{C}{e^{2 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 e^{2 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.6.1

Multiplique $\frac{2 x - 1}{4}$ por $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 8.3.6.2

Multiplique $\frac{C}{e^{2 x}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Etapa 8.3.6.3

Reordene os fatores de $e^{2 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Etapa 8.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Etapa 8.3.8.2

Reescreva $- 1 e^{2 x}$ como $- e^{2 x}$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Etapa 8.3.8.3

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$