Cálculo Exemplos

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 3$ é constante com relação a $y$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.6

Aplique a regra da constante.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

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Etapa 2.2.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.7.2

Simplifique.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.2.8

Reordene os termos.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Combine $y^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Etapa 3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

Etapa 3.2.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

Etapa 3.2.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $2$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 y^{2}}{2}$ para o numerador.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

Etapa 3.3.4

Mova $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Etapa 3.3.5

Reordene $- 3 y^{2}$ e $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = - 14$ e $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 14$ à potência de $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $4$ de $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ .

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Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $4$ de $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.2

Fatore $4$ de $- 24 x^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.3

Fatore $4$ de $- 24 K$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.4

Fatore $4$ de $24 x$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.5

Fatore $4$ de $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.6

Fatore $4$ de $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.5.7

Fatore $4$ de $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.6

Reescreva $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ como $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ .

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Etapa 3.6.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.6.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.1.8

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

Etapa 3.6.3

Simplifique $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

Etapa 3.6.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$