Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $r^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $r^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $r^{- 2}$ com relação a $r$ é $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- r^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{r} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{θ}$ com relação a $θ$ é $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Etapa 3

Resolva $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$r, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$r$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ por $r$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ por $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{r}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $\ln (| θ |) r + C r$ .

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ .

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $r$ de $r \ln (| θ |) + C r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $r$ de $C r$ .

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $r$ de $r \ln (| θ |) + r C$ .

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ por $\ln (| θ |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ por $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| θ |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $θ$ e $2$ por $r$ em $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ .

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Etapa 5

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ .

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Etapa 5.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Etapa 5.2.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Etapa 5.2.3

Some $0$ e $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$C, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$C$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{C} = 2$ por $C$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{C} = 2$ por $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{C}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 2 C$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

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Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $2 C = - 1$ .

$2 C = - 1$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $2 C = - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $2 C = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.2.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C = - \frac{1}{2}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $C$ em $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $- \frac{1}{2}$ por $C$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Para escrever $\ln (| θ |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2

Combine $\ln (| θ |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1.1

Reordene $\ln (| θ |)$ e $2$ .

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Etapa 6.2.4.1.2

Simplifique $2 \cdot \ln (| θ |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Etapa 6.2.4.2

Remova o valor absoluto em ${| θ |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ por $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$