Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - x e^{y} = 2 e^{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Some $x e^{y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{y} + x e^{y}$

Etapa 1.2

Fatore $e^{y}$ de $2 e^{y} + x e^{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $e^{y}$ de $2 e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + x e^{y}$

Etapa 1.2.2

Fatore $e^{y}$ de $x e^{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$

Etapa 1.2.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (2 + x)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $e^{y}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (2 + x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.1.2.1.3

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- e^{u} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (2 x)$ como $- (2 x)$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{K}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 1 \cdot K$

Etapa 3.1.3.1.8

Reescreva $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln (e^{- y})$ movendo $- y$ para fora do logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 3.4.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ como $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ .

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$