Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 x y$

Etapa 1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2 x$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 x d x}$

Etapa 2.2

Integre $- 2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 \cdot e^{- x^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 e^{- x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int e^{- x^{2}} d x$

Etapa 7.2

$\int e^{- x^{2}} d x$ é uma integral especial. A integral é a função de erro.

$e^{- x^{2}} y = 2 (erf (x) + C)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$e^{- x^{2}} y = 2 erf (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ por $e^{- x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$