Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 1.4.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 1.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Etapa 1.6

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Etapa 1.7

Fatore $y$ de $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.4

Combine.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.2.6.5

Some $- 1$ e $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Etapa 3.4.5

Some $2$ e $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $10$ .

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Etapa 7.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique $x^{\frac{5}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.1.2.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Some $- 1$ e $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Divida $4$ por $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$