Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{r}{θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r θ}{θ^{2}}$

Etapa 1.1.2

Cancele o fator comum de $θ$ e $θ^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore $θ$ de $2 r θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Fatore $θ$ de $θ^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Etapa 1.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r}{θ}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{r^{2}}{θ^{2}}$ como ${(\frac{r}{θ})}^{2}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{2 r}{θ}$

Etapa 1.3

Fatore $\frac{r}{θ}$ a partir de $\frac{2 r}{θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{r}{θ}$ de $\frac{2 r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{r}{θ} \cdot 2$

Etapa 1.3.2

Reordene $\frac{r}{θ}$ e $2$ .

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + 2 \cdot \frac{r}{θ}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{r}{θ}$ . Substitua $V$ por $\frac{r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = V^{2} + 2 \cdot V$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{r}{θ}$ para $r$ .

$r = V θ$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $r = V θ$ com relação a $θ$ .

$\frac{d r}{d θ} = θ \frac{d V}{d θ} + V$

Etapa 5

Substitua $θ \frac{d V}{d θ} + V$ por $\frac{d r}{d θ}$ .

$θ \frac{d V}{d θ} + V = V^{2} + 2 V$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d θ}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d θ}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + 2 V - V$

Etapa 6.1.1.1.2

Subtraia $V$ de $2 V$ .

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$

Etapa 6.1.1.2

Divida cada termo em $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ por $θ$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.1

Divida cada termo em $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ por $θ$ .

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Etapa 6.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Etapa 6.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d θ}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Etapa 6.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2} + V}{θ}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $V$ de $V^{2} + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $V$ de $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V}{θ}$

Etapa 6.1.2.2.2

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V^{1}}{θ}$

Etapa 6.1.2.2.3

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V \cdot 1}{θ}$

Etapa 6.1.2.2.4

Fatore $V$ de $V \cdot V + V \cdot 1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V (V + 1)}{θ}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Etapa 6.1.4

Cancele o fator comum de $V (V + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Etapa 6.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $V (V + 1)$ .

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $V + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.1.2

Divida $A (V + 1)$ por $1$ .

$1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $V + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.1.5.4.2

Divida $(B) (V)$ por $1$ .

$1 = A V + A + (B) (V)$

$1 = A V + A + B V$

Etapa 6.2.2.1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A V + B V + A$

Etapa 6.2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $V$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $V$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 6.2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 6.2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 6.2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{V} + \frac{- 1}{V + 1}$

Etapa 6.2.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{V} - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.3

A integral de $\frac{1}{V}$ com relação a $V$ é $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $V$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.5

Deixe $u = V + 1$ . Depois, $d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Deixe $u = V + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1.1

Diferencie $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Etapa 6.2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V + 1$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.7

Simplifique.

$\ln (| V |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V |}{| u |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.2.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{θ}$ com relação a $θ$ é $\ln (| θ |)$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \ln (| θ |) + C_{4}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) = \ln (| θ |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) - \ln (| θ |) = C$

Etapa 6.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V |}{| V + 1 |}}{| θ |}) = C$

Etapa 6.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}) = C$

Etapa 6.3.4

Multiplique $\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.1

Multiplique $\frac{| V |}{| V + 1 |}$ por $\frac{1}{| θ |}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 | | θ |}) = C$

Etapa 6.3.4.2

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (\frac{| V |}{| (V + 1) θ |}) = C$

Etapa 6.3.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + 1 θ |}) = C$

Etapa 6.3.5.2

Multiplique $θ$ por $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + θ |}) = C$

Etapa 6.3.5.3

Fatore $θ$ de $V θ + θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.5.3.1

Fatore $θ$ de $V θ$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Etapa 6.3.5.3.2

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Etapa 6.3.5.3.3

Fatore $θ$ de $θ^{1}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ \cdot 1 |}) = C$

Etapa 6.3.5.3.4

Fatore $θ$ de $θ V + θ \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$

Etapa 6.3.6

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |})} = e^{C}$

Etapa 6.3.7

Reescreva $\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V |}{| θ (V + 1) |}$

Etapa 6.3.8

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.1

Reescreva a equação como $\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$

Etapa 6.3.8.2

Multiplique os dois lados por $| θ (V + 1) |$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Etapa 6.3.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $| θ (V + 1) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Etapa 6.3.8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| V | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Etapa 6.3.8.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.3.2.1

Simplifique $e^{C} | θ (V + 1) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$| V | = e^{C} | θ V + θ \cdot 1 |$

Etapa 6.3.8.3.2.1.2

Multiplique $θ$ por $1$ .

$| V | = e^{C} | θ V + θ |$

Etapa 6.3.8.4

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.1

Reescreva a equação como $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ .

$e^{C} | θ V + θ | = | V |$

Etapa 6.3.8.4.2

Divida cada termo em $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ por $e^{C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.2.1

Divida cada termo em $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ por $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Etapa 6.3.8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Etapa 6.3.8.4.2.2.1.2

Divida $| θ V + θ |$ por $1$ .

$| θ V + θ | = \frac{| V |}{e^{C}}$

Etapa 6.3.8.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = - \frac{V}{e^{C}}$

Etapa 6.3.8.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

Etapa 6.3.8.4.5

Resolva $θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$ para $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.2.1.1

Simplifique $(θ V + θ) e^{C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.2.1.1.2

Reordene $θ$ e $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = V$

Etapa 6.3.8.4.5.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$V θ e^{C} + θ e^{C} - V = 0$

Etapa 6.3.8.4.5.3.2

Subtraia $θ e^{C}$ dos dois lados da equação.

$V θ e^{C} - V = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.3

Fatore $V$ de $V θ e^{C} - V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.3.1

Fatore $V$ de $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) - V = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.3.2

Fatore $V$ de $- V$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot - 1 = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.3.3

Fatore $V$ de $V (θ e^{C}) + V \cdot - 1$ .

$V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.4

Divida cada termo em $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ por $θ e^{C} - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.1

Divida cada termo em $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ por $θ e^{C} - 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $θ e^{C} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.5.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Etapa 6.3.8.4.6

Resolva $θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$ para $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.2.1.1

Simplifique $(θ V + θ) e^{C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.2.1.1.2

Reordene $θ$ e $V$ .

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{V}{e^{C}}$ para o numerador.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - V$

Etapa 6.3.8.4.6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.1

Some $V$ aos dois lados da equação.

$V θ e^{C} + θ e^{C} + V = 0$

Etapa 6.3.8.4.6.3.2

Subtraia $θ e^{C}$ dos dois lados da equação.

$V θ e^{C} + V = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.3

Fatore $V$ de $V θ e^{C} + V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.3.1

Fatore $V$ de $V θ e^{C}$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.3.2

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.3.3

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$V (θ e^{C}) + V \cdot 1 = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.3.4

Fatore $V$ de $V (θ e^{C}) + V \cdot 1$ .

$V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.4

Divida cada termo em $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ por $θ e^{C} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.1

Divida cada termo em $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ por $θ e^{C} + 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $θ e^{C} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.4.6.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Etapa 6.3.8.4.7

Liste todas as soluções.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Etapa 7

Substitua $\frac{r}{θ}$ por $V$ .

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}, - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Etapa 8

Resolva $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Reescreva.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$r (θ C - 1) = θ (- θ C)$

Etapa 8.3

Resolva a equação para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ) C$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Etapa 8.3.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r (θ C - 1) = - θ^{1 + 1} C$

Etapa 8.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$r (θ C - 1) = - θ^{2} C$

Etapa 8.3.2

Divida cada termo em $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ por $θ C - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Divida cada termo em $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ por $θ C - 1$ .

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Etapa 8.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $θ C - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Etapa 8.3.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Etapa 8.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}$

Etapa 9

Resolva $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$ para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Etapa 9.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$r (θ C + 1) = θ (- θ C)$

Etapa 9.3

Resolva a equação para $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ) C$

Etapa 9.3.1.2

Eleve $θ$ à potência de $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Etapa 9.3.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$r (θ C + 1) = - θ^{1 + 1} C$

Etapa 9.3.1.4

Some $1$ e $1$ .

$r (θ C + 1) = - θ^{2} C$

Etapa 9.3.2

Divida cada termo em $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ por $θ C + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Divida cada termo em $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ por $θ C + 1$ .

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Etapa 9.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $θ C + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Etapa 9.3.2.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Etapa 9.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$

Etapa 10

Liste as soluções.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}, r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$