Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.1.6.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

Etapa 2.3.1.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x - A + B x + B$

Etapa 2.3.1.1.7

Mova $- A$ .

$1 = A x + B x - A + B$

Etapa 2.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 1 A + B$ por $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (- B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.2.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Etapa 2.3.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Etapa 2.3.1.5.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 2.3.8

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.8.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\ln (| x + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x - 1 |)$ .

$\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} + C$ por $2$ .

$\arctan (y) \cdot 2 = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $\arctan (y)$ .

$2 \arctan (y) = - \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2}$ para o numerador.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \arctan (y) = \frac{- \ln (| x + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2} \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$2 \arctan (y) = - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| x + 1 |) - \ln (| x - 1 |) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Etapa 3.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) = - 2 \arctan (y) + 2 C$

Etapa 3.5

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 2 \arctan (y) + 2 C = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$

Etapa 3.6

Subtraia $2 C$ dos dois lados da equação.

$- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$

Etapa 3.7

Divida cada termo em $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Divida cada termo em $- 2 \arctan (y) = \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) - 2 C$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \arctan (y)}{- 2} = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.2.1.2

Divida $\arctan (y)$ por $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2} + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.3.1.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}{- 2}$ como $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.2

Simplifique $\frac{1}{- 2} \ln (\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})$ movendo $- \frac{1}{- 2}$ para dentro do logaritmo.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.4

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.7.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \ln ({(\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{| x + 1 |}{| x - 1 |}$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.6

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.7.3.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{- 2 C}{- 2}$

Etapa 3.7.3.1.6.2

Divida $C$ por $1$ .

$\arctan (y) = - \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C$

Etapa 3.8

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (- \ln (\frac{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x - 1 |}^{\frac{1}{2}}}) + C)$