Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y (2 - y)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y (2 - y)}$ .

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y (2 - y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (2 - y)} (y (2 - y))$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y (2 - y)} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y (2 - y)} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y (2 - y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (2 - y)$ .

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y (2 - y))}{y (2 - y)} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (2 - y)}{2 - y} = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y (2 - y))}{y} + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.1.2

Divida $A (2 - y)$ por $1$ .

$1 = A (2 - y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot A - A y + \frac{(B) (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.5

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = 2 A - A y + \frac{B (y (2 - y))}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.1.5.5.2

Divida $(B) (y)$ por $1$ .

$1 = 2 A - A y + (B) (y)$

$1 = 2 A - A y + B y$

Etapa 2.2.1.1.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1

Mova $A$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Etapa 2.2.1.1.6.2

Reordene $B$ e $y$ .

$1 = 2 A - y A + B y$

Etapa 2.2.1.1.6.3

Mova $2 A$ .

$1 = - y A + B y + 2 A$

Etapa 2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A$

Etapa 2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A$

Etapa 2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.2.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = 2 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $2 A = 1$ .

$2 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.1.2

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $2 A = 1$ por $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 A}{2} = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

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Etapa 2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{2}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{2}) + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.3.2.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

$0 = - \frac{1}{2} + B$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = - \frac{1}{2} + B$ .

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Etapa 2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} + B = 0$ .

$- \frac{1}{2} + B = 0$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = \frac{1}{2} A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{1}{2}, A = \frac{1}{2}$

Etapa 2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{2 - y}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{2 y} + \frac{\frac{1}{2}}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 y} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 - y}$

Etapa 2.2.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 - y}$ .

$\int \frac{1}{2 y} + \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{2 y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (2 - y)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 - y} d y = \int d x$

Etapa 2.2.6

Deixe $u = 2 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Deixe $u = 2 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.6.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.6.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Etapa 2.2.9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| y |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2})) = \int d x$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.12

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y |) - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 - y |) = x + C$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\ln (| 2 - y |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ por $2$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (| y |)}{2} - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} = x + C$ por $2$ .

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (| y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 2 - y |)}{2}$ para o numerador.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 2 - y |)}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = x \cdot 2 + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 \cdot x + C \cdot 2$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 2 - y |) = 2 x + 2 C$

Etapa 3.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |})} = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{| 2 - y |}) = 2 x + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = \frac{| y |}{| 2 - y |}$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.2

Multiplique os dois lados por $| 2 - y |$ .

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Etapa 3.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1

Cancele o fator comum de $| 2 - y |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{| 2 - y |} | 2 - y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Etapa 3.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{2 x + 2 C} | 2 - y |$

Etapa 3.6.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.1

Reescreva a equação como $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ .

$e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$

Etapa 3.6.4.2

Divida cada termo em $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ por $e^{2 x + 2 C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.2.1

Divida cada termo em $e^{2 x + 2 C} | 2 - y | = | y |$ por $e^{2 x + 2 C}$ .

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Etapa 3.6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x + 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x + 2 C} | 2 - y |}{e^{2 x + 2 C}} = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Etapa 3.6.4.2.2.1.2

Divida $| 2 - y |$ por $1$ .

$| 2 - y | = \frac{| y |}{e^{2 x + 2 C}}$

Etapa 3.6.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$- (2 - y) = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Etapa 3.6.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

$2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$

Etapa 3.6.4.5

Resolva $2 - y = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.1.1

Simplifique $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Reordene $2 x$ e $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Reordene $2 x$ e $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Reordene $2 e^{2 C + 2 x}$ e $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x + 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = y$

Etapa 3.6.4.5.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} - y = 0$

Etapa 3.6.4.5.3.2

Subtraia $2 e^{2 C + 2 x}$ dos dois lados da equação.

$- y e^{2 C + 2 x} - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.5.3.3

Fatore $y$ de $- y e^{2 C + 2 x} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.3.1

Fatore $y$ de $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) - y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.5.3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.5.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot - 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.5.3.4

Reescreva $- 1 e^{2 C + 2 x}$ como $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.5.3.5

Divida cada termo em $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ por $- e^{2 C + 2 x} - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.5.1

Divida cada termo em $y (- e^{2 C + 2 x} - 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ por $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{2 C + 2 x} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- e^{2 C + 2 x} - 1)}{- e^{2 C + 2 x} - 1} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.2

Fatore $- 1$ de $- e^{2 C + 2 x}$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.4

Fatore $- 1$ de $- e^{2 C + 2 x} - 1 (1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.5.1

Reescreva $- (e^{2 C + 2 x} + 1)$ como $- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)$ .

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{- 1 (e^{2 C + 2 x} + 1)}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Etapa 3.6.4.5.3.5.3.5.4

Multiplique $\frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$ por $1$ .

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

Etapa 3.6.4.6

Resolva $2 - y = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{2 x + 2 C}$ .

$(2 - y) e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.1.1

Simplifique $(2 - y) e^{2 x + 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{2 x + 2 C} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Reordene $2 x$ e $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 x + 2 C} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Reordene $2 x$ e $2 C$ .

$2 e^{2 C + 2 x} - y e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Reordene $2 e^{2 C + 2 x}$ e $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - \frac{y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x + 2 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{e^{2 x + 2 C}}$ para o numerador.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = \frac{- y}{e^{2 x + 2 C}} e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.6.4.6.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} = - y$

Etapa 3.6.4.6.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$- y e^{2 C + 2 x} + 2 e^{2 C + 2 x} + y = 0$

Etapa 3.6.4.6.3.2

Subtraia $2 e^{2 C + 2 x}$ dos dois lados da equação.

$- y e^{2 C + 2 x} + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.3

Fatore $y$ de $- y e^{2 C + 2 x} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.3.1

Fatore $y$ de $- y e^{2 C + 2 x}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1 = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.3.4

Fatore $y$ de $y (- 1 e^{2 C + 2 x}) + y \cdot 1$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.4

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y (- 1 e^{2 C + 2 x} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.5

Reescreva $e^{2 C + 2 x}$ como ${(e^{C + x})}^{2}$ .

$y (- {(e^{C + x})}^{2} + 1^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.6

Reordene $- {(e^{C + x})}^{2}$ e $1^{2}$ .

$y (1^{2} - {(e^{C + x})}^{2}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.7

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = e^{C + x}$ .

$y ((1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$

Etapa 3.6.4.6.3.8

Divida cada termo em $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ por $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.8.1

Divida cada termo em $y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x}) = - 2 e^{2 C + 2 x}$ por $(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})$ .

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.6.3.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.1

Cancele o fator comum de $1 + e^{C + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.2

Cancele o fator comum de $1 - e^{C + x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - e^{C + x})}{1 - e^{C + x}} = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.6.3.8.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.6.3.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.4.6.3.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 3.6.4.7

Liste todas as soluções.

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

$y = \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{e^{2 C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{2 e^{C + 2 x}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{2 e^{2 x + C}}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.3

Reescreva $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.4

Reordene $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C + 2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x + C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.6

Reescreva $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{2 x} e^{C} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.7

Reordene $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{C + 2 x}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.8

Reordene os termos.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 e^{2 x + C}}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.9

Reescreva $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{2 x} e^{C})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.10

Reordene $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C + x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.11

Reordene os termos.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x + C}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.12

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{x} e^{C}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.13

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{C + x})}$

Etapa 4.14

Reordene os termos.

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - e^{x + C})}$

Etapa 4.15

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{x} e^{C}))}$

Etapa 4.16

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$

$y = \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{e^{C} e^{2 x} + 1}$

$y = - \frac{2 (e^{C} e^{2 x})}{(1 + e^{C} e^{x}) (1 - (e^{C} e^{x}))}$