Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Combine $3$ e $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $3$ de $\frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $3$ de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $3$ de $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Etapa 3.4.4

Mova $4$ para a esquerda de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Etapa 3.4.5

Combine $3$ e $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ como $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.8

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.2

Eleve $\sqrt[3]{4}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Etapa 3.4.8.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Etapa 3.4.8.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Etapa 3.4.8.5

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ como $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{4}$ como $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 3.4.8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.8.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.8.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.8.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 3.4.8.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Etapa 3.4.8.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Etapa 3.4.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.1

Reescreva ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ como $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Etapa 3.4.9.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Etapa 3.4.9.3

Reescreva $16$ como $2^{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.3.1

Fatore $8$ de $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Etapa 3.4.9.3.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.9.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Etapa 3.4.9.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.9.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Etapa 3.4.9.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Etapa 3.4.10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.10.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.4.10.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $x$ e $\sqrt[3]{15}$ por $y$ em $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ .

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

Etapa 6.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ como ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Simplifique ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1.3.1

Multiplique $6$ por $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.2.1.3.2

Simplifique.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Etapa 6.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Simplifique ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt[3]{15}$ .

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Etapa 6.4.2.3.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Etapa 6.4.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{15}$ como $15^{\frac{1}{3}}$ .

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Etapa 6.4.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Etapa 6.4.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Etapa 6.4.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Etapa 6.4.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

Etapa 6.4.2.3.1.2.5

Avalie o expoente.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

Etapa 6.4.2.3.1.3

Multiplique $8$ por $15$ .

$96 + 6 K = 120$

Etapa 6.4.3

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1.1

Subtraia $96$ dos dois lados da equação.

$6 K = 120 - 96$

Etapa 6.4.3.1.2

Subtraia $96$ de $120$ .

$6 K = 24$

Etapa 6.4.3.2

Divida cada termo em $6 K = 24$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Divida cada termo em $6 K = 24$ por $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 6.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Etapa 6.4.3.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

Etapa 6.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.3.1

Divida $24$ por $6$ .

$K = 4$

Etapa 7

Substitua $4$ por $K$ em $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$