Cálculo Exemplos

$\frac{d M}{d t} + \frac{M}{37.5} = 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d M}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5} = 4$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $37.5$ de $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5 (1)} = 4$

Etapa 1.1.1.3

Separe as frações.

$\frac{d M}{d t} + \frac{1}{37.5} \cdot \frac{M}{1} = 4$

Etapa 1.1.1.4

Divida $1$ por $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} \frac{M}{1} = 4$

Etapa 1.1.1.5

Divida $M$ por $1$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} M = 4$

Etapa 1.1.2

Subtraia $0.02\overline{6} M$ dos dois lados da equação.

$\frac{d M}{d t} = 4 - 0.02\overline{6} M$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M}$ .

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $4 - 0.02\overline{6} M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = 1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Depois, $d u = - 0.02\overline{6} d M$ , então, $\frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = d M$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Encontre $\frac{d u}{d M}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$\frac{d}{d M} [4 - 0.02\overline{6} M]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 0.02\overline{6} M$ com relação a $M$ é $\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

$\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $M$ , a derivada de $4$ em relação a $M$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 0.02\overline{6}$ é constante em relação a $M$ , a derivada de $- 0.02\overline{6} M$ em relação a $M$ é $- 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$ .

$0 - 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ é $n M^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 0.02\overline{6} \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 0.02\overline{6}$ por $1$ .

$0 - 0.02\overline{6}$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $0.02\overline{6}$ de $0$ .

$- 0.02\overline{6}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.02\overline{6}}) d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Etapa 2.2.2.3

Mova $0.02\overline{6}$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{0.02\overline{6}} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Reescreva $- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $37.5$ .

$- 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$

Etapa 3

Resolva $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ por $- 37.5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ por $- 37.5$ .

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $- 37.5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.3

Fatore $37.5$ de $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5 (1)} + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.4

Separe as frações.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.5

Divida $1$ por $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.6

Divida $t$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} t) + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.7

Multiplique $0.02\overline{6}$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t + \frac{C}{- 37.5}$

Etapa 3.1.3.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{C}{37.5}$

Etapa 3.1.3.1.9

Multiplique por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5}$

Etapa 3.1.3.1.10

Fatore $37.5$ de $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5 (1)}$

Etapa 3.1.3.1.11

Separe as frações.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{C}{1})$

Etapa 3.1.3.1.12

Divida $1$ por $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} \frac{C}{1})$

Etapa 3.1.3.1.13

Divida $C$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} C)$

Etapa 3.1.3.1.14

Multiplique $0.02\overline{6}$ por $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$

Etapa 3.2

Para resolver $M$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)} = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} = | 4 - 0.02\overline{6} M |$

Etapa 3.4

Resolva $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ .

$| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ por $- 0.02\overline{6}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ por $- 0.02\overline{6}$ .

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.02\overline{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $M$ por $1$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}}$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Multiplique por $1$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Fatore $0.02\overline{6}$ de $0.02\overline{6}$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6} (1)} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.4

Separe as frações.

$M = \frac{1}{0.02\overline{6}} \cdot \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.5

Divida $1$ por $0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.6

Divida $\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ por $1$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Etapa 3.4.4.3.1.7

Divida $- 4$ por $- 0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + 150$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t + C}) + 150$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- 0.02\overline{6} t + C}$ como $e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}) + 150$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- 0.02\overline{6} t}$ e $e^{C}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{C} e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$M = 37.5 (C e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$