Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sin (2 x + π)$ , $y (0) = 6$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sin (2 x + π) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sin (2 x + π) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sin (2 x + π) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 2 x + π$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 2 x + π$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $2 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + π]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $6$ por $y$ em $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ .

$6 = - \frac{1}{2} \cos (2 \cdot 0 + π) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (2 \cdot 0 + π) + K = 6$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (0 + π) + K = 6$

Etapa 4.2.1.2

Some $0$ e $π$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \cos (π) + K = 6$

Etapa 4.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) + K = 6$

Etapa 4.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 6$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + K = 6$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + K = 6$

Etapa 4.2.1.6.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + K = 6$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{1}{2}$ dos dois lados da equação.

$K = 6 - \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$K = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.3

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$K = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{6 \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$K = \frac{12 - 1}{2}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $1$ de $12$ .

$K = \frac{11}{2}$

Etapa 5

Substitua $\frac{11}{2}$ por $K$ em $y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{11}{2}$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{2} \cos (2 x + π) + \frac{11}{2}$

Etapa 5.2

Combine $\cos (2 x + π)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{\cos (2 x + π)}{2} + \frac{11}{2}$