Cálculo Exemplos

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Etapa 2

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x v$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Etapa 2.4

Substitua $\frac{d v}{d x}$ por $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Etapa 2.5

Reordene $v$ e $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Etapa 2.6

Multiplique $v$ por $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x v = \int 0 d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Etapa 6.2

Some $0$ e $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Etapa 7

Divida cada termo em $x v = C_{1}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x v = C_{1}$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Etapa 9

Reescreva a equação.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Etapa 10

Integre os dois lados.

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Etapa 10.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Etapa 10.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Etapa 10.3

Integre o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Como $C_{1}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{1}$ para fora da integral.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 10.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Etapa 10.3.3

Simplifique.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 10.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = C \ln (| x |) + D$