Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

Etapa 1.1.2

Subtraia $2 (- y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

Etapa 1.2

Reescreva a equação com coeficientes isolados.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

Etapa 2.2

Integre $- 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

Etapa 3.5

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 7.10

Reescreva $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12

Simplifique.

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Etapa 7.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Etapa 7.12.1.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.12.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Etapa 7.12.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{2 x}}{4}$ para o numerador.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Etapa 7.12.4.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Etapa 7.12.4.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$