Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ ; , $y (2) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Etapa 1.1.2

Subtraia $4 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Etapa 1.1.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $\frac{d y}{d x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2

Fatore $x$ de $x - 4 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.3

Fatore $x$ de $- 4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $1 - 4 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $1 - 4 y$ de $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 1 - 4 y$ . Depois, $d u_{1} = - 4 d y$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 - 4 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Etapa 2.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $y$ é $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$0 - 4$

Etapa 2.2.1.1.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 1 - 4 y |)$ e $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ para o numerador.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 1 - 4 y |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

Etapa 3.2.2.1.5

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

Etapa 3.2.2.1.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ .

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ por ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $| 1 - 4 y |$ por $1$ .

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

Etapa 3.7.5

Divida cada termo em $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.1

Divida cada termo em $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.7.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.5.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Etapa 3.7.5.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 3.7.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $2$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ .

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $4$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Some $4$ e $1$ .

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Combine $C$ e $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{C + 25}{25} = 4$

Etapa 6.4

Resolva $C$ .

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Etapa 6.4.1

Multiplique os dois lados da equação por $25$ .

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Etapa 6.4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$C + 25 = 25 \cdot 4$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $25$ por $4$ .

$C + 25 = 100$

Etapa 6.4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$C = 100 - 25$

Etapa 6.4.3.2

Subtraia $25$ de $100$ .

$C = 75$

Etapa 7

Substitua $75$ por $C$ em $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $75$ por $C$ .

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.1

Combine $75$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Etapa 7.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.4.1

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.2

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.2.4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.2.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.4.3.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.4.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.3.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.2.4.4

Some $75$ e $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Etapa 7.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

Etapa 7.5

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$