Cálculo Exemplos

$2 x y d x + (x^{2} - y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 1.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Etapa 1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Etapa 2.5

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x = 2 x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 2 x y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $2 y$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $2 y \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2

Simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.2

Combine $y$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.4

Multiplique $2$ por $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2 y}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.3.2.5.2

Divida $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + g (y)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = x^{2} - y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - y^{2} - x^{2}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $x^{2} - y^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 10.5

Reescreva $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{y^{3}}{3} + C$