Cálculo Exemplos

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ por $1 + \sin^{2} (x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ por $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $1 + \sin^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $e^{- 2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Negative o expoente de $e^{- 2 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $e^{2 y}$ por $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.2

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 2.2.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.3

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Depois, $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Some $0$ e $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reordene os fatores de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2.3.1.1.4.3

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 2.3.1.1.4.4

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Etapa 2.3.1.1.4.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x)$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{2 y})$ movendo $2 y$ para fora do logaritmo.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Etapa 3.5

Expanda $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ .

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ .

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.1.1.3

Some $0$ e $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (C) = 2$

Etapa 6.4

Para resolver $C$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Etapa 6.5

Reescreva $\ln (C) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Etapa 6.6

Reescreva a equação como $C = e^{2}$ .

$C = e^{2}$

Etapa 7

Substitua $e^{2}$ por $C$ em $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $e^{2}$ por $C$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Etapa 7.2

Reescreva $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.4

Simplifique $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$