Cálculo Exemplos

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x^{2} \sin (x) d x$ dos dois lados da equação.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Etapa 4.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Etapa 4.3.4.2

Multiplique $\int \cos (x) d x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Etapa 4.3.5

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Reescreva $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ como $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $- (- x \cos (x))$ .

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Etapa 5.2.2.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Etapa 5.4

Fatore $2$ de $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $2$ de $2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Etapa 5.4.2

Fatore $2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Etapa 5.4.3

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Etapa 5.4.4

Fatore $2$ de $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Etapa 5.4.5

Fatore $2$ de $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$