Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 2.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $4 x - x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Etapa 2.3.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Etapa 2.3.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 4 + x (- x)$ .

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Etapa 2.3.1.1.1.4

Multiplique $x$ por $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Etapa 2.3.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.5

Cancele o fator comum de $4 - x$ .

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Etapa 2.3.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Divida $1 - 2 x$ por $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.6

Reordene $1$ e $- 2 x$ .

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.1.2

Divida $A (4 - x)$ por $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.5

Cancele o fator comum de $4 - x$ .

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Etapa 2.3.1.1.7.5.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.1.7.5.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Etapa 2.3.1.1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.1.8.1

Mova $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Etapa 2.3.1.1.8.2

Reordene $B$ e $x$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Etapa 2.3.1.1.8.3

Mova $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Etapa 2.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 2 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 4 A$

Etapa 2.3.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Etapa 2.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 2.3.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = 4 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Reescreva a equação como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1.3.1.2.1

Divida cada termo em $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Etapa 2.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

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Etapa 2.3.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 2 = - 1 A + B$ por $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1.3.2.2.1

Reescreva $- 1 (\frac{1}{4})$ como $- (\frac{1}{4})$ .

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3

Resolva $B$ em $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ .

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Etapa 2.3.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{4} + B = - 2$ .

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.1.3.3.2.1

Some $\frac{1}{4}$ aos dois lados da equação.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.1.3.3.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.5.2

Some $- 8$ e $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Etapa 2.3.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{4 - x}$ por $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Etapa 2.3.1.5.5

Mova $4$ para a esquerda de $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{7}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{7}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Etapa 2.3.7

Deixe $u = 4 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.7.1

Deixe $u = 4 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.7.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.7.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.10.2

Multiplique $\frac{7}{4}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$