Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 5.1

Separe as variáveis.

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Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Combine os termos opostos em $V + \cos^{2} (V) - V$ .

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Etapa 5.1.1.1.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Etapa 5.1.1.1.2.2

Some $0$ e $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Etapa 5.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Combine.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Etapa 5.1.3.2

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (V)$ .

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Etapa 5.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Etapa 5.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

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Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ em $\sec^{2} (V)$ .

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Como a derivada de $\tan (V)$ é $\sec^{2} (V)$ , a integral de $\sec^{2} (V)$ é $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 5.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro da tangente.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Reordene os fatores em $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$