Cálculo Exemplos

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Some $\frac{w}{25}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação com coeficientes isolados.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{1}{25}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Etapa 2.4

Combine $\frac{1}{25}$ e $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{25}$ e $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ e $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Etapa 3.4

Multiplique $e^{\frac{t}{25}}$ por $e^{\frac{- 1}{25} t}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.3.2

Combine $t$ e $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Etapa 3.4.4

Some $- \frac{t}{25}$ e $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Etapa 3.5

Simplifique $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $w$ por $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$