Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.2

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $- 1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ .

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ .

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $5$ de $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Etapa 4.3

Some $10$ aos dois lados da equação.

$K = 10$

Etapa 5

Substitua $10$ por $K$ em $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $10$ por $K$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$