Cálculo Exemplos

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

Etapa 1

Some $(1 + \sin (x)) d x$ aos dois lados da equação.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.2

Como $6$ é constante com relação a $y$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.5

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Simplifique.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 2.2.6.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.2.6.2.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$