Cálculo Exemplos

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ por $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 1.5

Fatore $y$ de $\frac{y}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 1.6

Reordene $y$ e $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.2.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\ln (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\ln (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x \ln (x)}$ e $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $\ln (x)$ de $x \ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\ln (x) y = e^{x} + C$ por $\ln (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\ln (x) y = e^{x} + C$ por $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$