Cálculo Exemplos

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

Etapa 1.2

Como $e^{2 x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{2 x} y^{2}$ em relação a $y$ é $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

Etapa 1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} y - 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{2 x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Etapa 2.4

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $2 y e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Etapa 2.5.3

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 y e^{2 x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y e^{2 x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

Etapa 5.2

Como $e^{2 x}$ é constante com relação a $y$ , mova $e^{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

Etapa 5.4

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 5.7.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

Etapa 5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.4

Combine $- 2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.7.5.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

Etapa 5.7.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

Etapa 5.7.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 5.7.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

Etapa 5.7.5.2.4

Divida $- y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 8.3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.9

Combine $2$ e $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.10

Combine $\frac{2 y^{2}}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.11

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.3.11.2

Divida $y^{2} e^{2 x}$ por $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.4

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $y^{2} e^{2 x}$ e $0$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 8.6.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Reordene os fatores em $e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y^{2} e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

Etapa 9.1.2.2

Subtraia $y^{2} e^{2 x}$ de $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Etapa 10.3

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Etapa 10.4

Some $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ .

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{e^{2 x}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$