Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{2 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x e^{x} d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Etapa 2.3.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x}) + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $\frac{1}{2} (x e^{x})$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x e^{x} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{x}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x e^{x} - e^{x} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$