Cálculo Exemplos

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Etapa 1

Deixe $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Substitua $v_{1}$ em todas as ocorrências de $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v_{1}}{d x}$ ao diferenciar $x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Etapa 4

Deixe $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Substitua $v_{2}$ em todas as ocorrências de $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Etapa 5

Encontre $\frac{d v_{2}}{d x}$ ao diferenciar $e^{v_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = v_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Etapa 5.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Etapa 5.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ como $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Etapa 6

Substitua $v_{2}$ por $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Etapa 7

Substitua a derivada na equação diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Etapa 8

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Resolva $\frac{d v}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique os dois lados por $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1

Simplifique $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $v_{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.1.1.4.2

Reordene $\frac{d v}{d x}$ e $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Etapa 8.1.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.2.1

Simplifique $v (2 v x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Etapa 8.1.2.2.1.2

Multiplique $v_{2}$ por $v_{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.2.1.2.1

Mova $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Etapa 8.1.2.2.1.2.2

Multiplique $v_{2}$ por $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Etapa 8.1.3

Some $2 v_{2} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Etapa 8.2

Fatore $2 v_{2} x$ de $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $2 v_{2} x$ de $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Etapa 8.2.2

Fatore $2 v_{2} x$ de $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Etapa 8.2.3

Fatore $2 v_{2} x$ de $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Etapa 8.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Etapa 8.4.2

Combine $2$ e $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Etapa 8.4.3

Cancele o fator comum de $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1

Fatore $v_{2} (v_{2} + 1)$ de $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Etapa 8.4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Etapa 8.4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Etapa 8.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Etapa 9

Integre os dois lados.

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Etapa 9.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 9.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 9.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.3

Cancele o fator comum de $v_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $v_{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $v_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5.1.2

Divida $A (v_{2} + 1)$ por $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5.4

Cancele o fator comum de $v_{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.1.5.4.2

Divida $B v_{2}$ por $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Etapa 9.2.1.1.6

Mova $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Etapa 9.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 9.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $v_{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 9.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $v_{2}$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A$

Etapa 9.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Etapa 9.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 9.2.1.3.1

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Etapa 9.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Etapa 9.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Etapa 9.2.1.3.3

Resolva $B$ em $0 = 1 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Etapa 9.2.1.3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Etapa 9.2.1.3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = - 1 A = 1$

Etapa 9.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$B = - 1, A = 1$

Etapa 9.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Etapa 9.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.3

A integral de $\frac{1}{v_{2}}$ com relação a $v_{2}$ é $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $v_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.5

Deixe $u_{3} = v_{2} + 1$ . Depois, $d u_{3} = d v_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

Deixe $u_{3} = v_{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

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Etapa 9.2.5.1.1

Diferencie $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Etapa 9.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $v_{2} + 1$ com relação a $v_{2}$ é $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Etapa 9.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ é $n {v_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Etapa 9.2.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $v_{2}$ , a derivada de $1$ em relação a $v_{2}$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Etapa 9.2.7

Simplifique.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Etapa 9.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Etapa 9.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 9.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 9.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 9.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 9.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Etapa 9.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Etapa 9.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Etapa 10

Resolva $v_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Etapa 10.2

Para resolver $v_{2}$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Etapa 10.3

Reescreva $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Etapa 10.4

Resolva $v_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Reescreva a equação como $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Etapa 10.4.2

Multiplique os dois lados por $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Etapa 10.4.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1

Cancele o fator comum de $| u_{3} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Etapa 10.4.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Etapa 10.4.4

Resolva $v_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.4.1

Reordene os fatores em $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Etapa 10.4.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Etapa 11

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva $e^{x^{2} + C}$ como $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Etapa 11.2

Reordene $e^{x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Etapa 11.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $v_{2}$ por $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Etapa 13

Resolva $v$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Etapa 13.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Expanda $\ln (e^{v_{1}})$ movendo $v_{1}$ para fora do logaritmo.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Etapa 13.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Etapa 13.2.3

Multiplique $v_{1}$ por $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Etapa 13.3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Reescreva $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ como $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 13.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{3} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Etapa 13.3.3

Expanda $\ln (e^{x^{2}})$ movendo $x^{2}$ para fora do logaritmo.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Etapa 13.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Etapa 13.3.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Etapa 13.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $v_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Etapa 15

Resolva $y$ .

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Etapa 15.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 15.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Etapa 15.1.2

Combine os termos opostos em $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 15.1.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Etapa 15.1.2.2

Some $\ln (C | u_{3} |)$ e $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Etapa 15.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Etapa 15.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Etapa 15.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Etapa 15.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Etapa 16

Como $y$ não é negativo na condição inicial $(0, 0)$ , considere apenas $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ para encontrar $C$ . Substitua $0$ por $x$ e $0$ por $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Etapa 17

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Reescreva a equação como $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ .

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Etapa 17.2

Resolva $C$ .

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Etapa 17.2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 17.2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 17.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ como ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 17.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.2.1

Simplifique ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 17.2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 17.2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Etapa 17.2.2.2.1.2

Simplifique.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Etapa 17.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Etapa 17.2.3

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Para resolver $C$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Etapa 17.2.3.2

Reescreva $\ln (C | u_{3} |) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Etapa 17.2.3.3

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.3.1

Reescreva a equação como $C | u_{3} | = e^{0}$ .

$C | u_{3} | = e^{0}$

Etapa 17.2.3.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Etapa 17.2.3.3.3

Divida cada termo em $C | u_{3} | = 1$ por $| u_{3} |$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.3.3.1

Divida cada termo em $C | u_{3} | = 1$ por $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Etapa 17.2.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $| u_{3} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Etapa 17.2.3.3.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Etapa 18

Substitua $\frac{1}{| u_{3} |}$ por $C$ em $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua $\frac{1}{| u_{3} |}$ por $C$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Etapa 18.2

Cancele o fator comum de $| u_{3} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Etapa 18.2.2

Reescreva a expressão.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Etapa 18.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Etapa 18.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 18.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 0$