Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Etapa 3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$y = \tan (x + K)$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $0$ por $y$ em $y = \tan (x + K)$ .

$0 = \tan (1 + K)$

Etapa 5

Resolva $K$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\tan (1 + K) = 0$ .

$\tan (1 + K) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $K$ de dentro da tangente.

$1 + K = \arctan (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$1 + K = 0$

Etapa 5.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = - 1$

Etapa 5.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$1 + K = π + 0$

Etapa 5.6

Resolva $K$ .

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Etapa 5.6.1

Some $π$ e $0$ .

$1 + K = π$

Etapa 5.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = π - 1$

Etapa 5.7

Encontre o período de $\tan (1 + K)$ .

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Etapa 5.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.8

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.8.1

Some $π$ com $- 1$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1 + π$

Etapa 5.8.2

Liste os novos ângulos.

$K = - 1 + π$

Etapa 5.9

O período da função $\tan (1 + K)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.10

Consolide $- 1 + π + π n$ e $π - 1 + π + π n$ em $- 1 + π + π n$ .

$K = - 1 + π + π n$

Etapa 6

Substitua $- 1 + π + π n$ por $K$ em $y = \tan (x + K)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Substitua $- 1 + π + π n$ por $K$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$