Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 - x + 4 y$

Etapa 1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = 1 - x$

Etapa 1.2

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = - x + 1$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 4$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 4 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- 4 x + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 4 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} (- x) + e^{- 4 x} \cdot 1$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot 1$

Etapa 3.3.2

Multiplique $e^{- 4 x}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = - e^{- 4 x} x + e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} + e^{- 4 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{- 4 x} y = \int - x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - \int x e^{- 4 x} d x + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.4.2

Combine $x$ e $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.4.3

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.6.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ por $1$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.8

Deixe $u_{1} = - 4 x$ . Depois, $d u_{1} = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.8.1

Deixe $u_{1} = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.8.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 7.8.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 7.8.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 7.8.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.9

Simplifique.

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Etapa 7.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.9.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1})) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.11

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.12

Simplifique.

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Etapa 7.12.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.12.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.13

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 7.14

Deixe $u_{2} = - 4 x$ . Depois, $d u_{2} = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.14.1

Deixe $u_{2} = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.14.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 7.14.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 7.14.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 7.14.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Etapa 7.15

Simplifique.

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Etapa 7.15.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Etapa 7.15.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 7.16

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Etapa 7.17

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 7.18

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 7.19

Simplifique.

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Etapa 7.19.1

Simplifique.

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.19.2

Simplifique.

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Etapa 7.19.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.19.2.2

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.19.2.3

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u_{1}}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.20

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 7.20.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Etapa 7.20.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21

Simplifique.

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Etapa 7.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{- 4 x} y = - - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.2

Multiplique $- - \frac{e^{- 4 x} x}{4}$ .

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Etapa 7.21.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = 1 \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.2.2

Multiplique $\frac{e^{- 4 x} x}{4}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} - - \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.3

Multiplique $- - \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

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Etapa 7.21.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + 1 \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.3.2

Multiplique $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ por $1$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.4

Reordene os fatores em $\frac{e^{- 4 x} x}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 7.21.5

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C$

Etapa 7.22

Reordene os termos.

$e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- 4 x} y = \frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$ por $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 4 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{\frac{1}{16} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{- 4 x}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{1}{4} x e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.2.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{- 4 x} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.2.2

Combine $\frac{x}{4}$ e $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{16} e^{- 4 x} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{16}$ e $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.2.4

Combine $e^{- 4 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.4.1

Multiplique $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16} - \frac{e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.5.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.5.2.1.1

Fatore $e^{- 4 x}$ de $e^{- 4 x} - e^{- 4 x} \cdot 4$ .

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Etapa 8.3.5.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 - e^{- 4 x} \cdot 4}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.1.1.2

Fatore $e^{- 4 x}$ de $- e^{- 4 x} \cdot 4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.1.1.3

Fatore $e^{- 4 x}$ de $e^{- 4 x} \cdot 1 + e^{- 4 x} (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 1 \cdot 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} (1 - 4)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{- 3 \cdot e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.6.1

Para escrever $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.3.6.2.1

Multiplique $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4}{16} - \frac{3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{x e^{- 4 x} \cdot 4 - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.6.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 \cdot (x e^{- 4 x}) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.4.2

Fatore $e^{- 4 x}$ de $4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x}$ .

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Etapa 8.3.6.4.2.1

Fatore $e^{- 4 x}$ de $4 x e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) - 3 e^{- 4 x}}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.4.2.2

Fatore $e^{- 4 x}$ de $- 3 e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.4.2.3

Fatore $e^{- 4 x}$ de $e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.5

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + C \cdot \frac{16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.6

Combine $C$ e $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3)}{16} + \frac{C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x - 3) + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\frac{e^{- 4 x} (4 x) + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.8.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x + e^{- 4 x} \cdot - 3 + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.8.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $e^{- 4 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 \cdot e^{- 4 x} + C \cdot 16}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.6.8.4

Mova $16$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.8

Multiplique $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16}$ por $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$

Etapa 8.3.9

Reordene os fatores em $\frac{4 e^{- 4 x} x - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$ .

$y = \frac{4 x e^{- 4 x} - 3 e^{- 4 x} + 16 C}{16 e^{- 4 x}}$