Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

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Etapa 1.1

Presuma que $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Etapa 1.2

Combine $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ e $\sqrt{x^{2}}$ em um único radical.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.3

Divida $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 1.3.1

Divida a fração $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 1.4

Reescreva $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 6.1

Separe as variáveis.

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Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Etapa 6.1.1.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Etapa 6.1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.1.1.2.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Etapa 6.1.1.2.2

Combine os termos opostos em $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

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Etapa 6.1.1.2.2.1

Subtraia $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Etapa 6.1.1.2.2.2

Some $0$ e $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

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Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Complete o quadrado.

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Etapa 6.2.2.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1.1.1

Expanda $(1 + V) (1 - V)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Etapa 6.2.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Etapa 6.2.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.2

Multiplique $- V$ por $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.3

Multiplique $V$ por $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - V + V - V \cdot V$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.5

Multiplique $V$ por $V$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Mova $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Etapa 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplique $V$ por $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.2

Some $- V$ e $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - V^{2}$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Reordene $1$ e $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Etapa 6.2.2.1.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.2.2.1.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.4.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.2.1.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Etapa 6.2.2.1.4.2.2

Reescreva $- 1 \cdot 0$ como $- 0$ .

$d = - 0$

Etapa 6.2.2.1.4.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0$

Etapa 6.2.2.1.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.2.2.1.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.3

Divida $0$ por $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Etapa 6.2.2.1.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 1 + 0$

Etapa 6.2.2.1.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e = 1$

Etapa 6.2.2.1.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = V + 0$ . Depois, $d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = V + 0$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V + 0$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Como $0$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $0$ em relação a $V$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Reordene $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

Some $V$ e $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $V$ de dentro do arco seno.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.2.1

Reordene os fatores em $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$