Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{\frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Combine.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.5

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.6

Divida $y^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Combine $\frac{3}{2}$ e $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.2.2.1.2.4

Divida $x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{2}{3}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4.1.2

Simplifique.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$