Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

Divida a fração em diversas frações.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Etapa 3.3.3

Reescreva $- 1 \ln (| 1 - x |)$ como $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| 1 - x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

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Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Etapa 3.3.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Etapa 3.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Etapa 3.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Etapa 3.3.4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.3.5.1

Reescreva $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ como $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Etapa 3.3.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Etapa 3.3.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Etapa 3.3.4.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ .

$1 = \frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$

Etapa 6.2

Fatore cada termo.

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Etapa 6.2.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 1$

Etapa 6.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + C} = 1$

Etapa 6.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{0 + C} = 1$

Etapa 6.2.4

Some $0$ e $C$ .

$\frac{1}{C} = 1$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$C, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$C$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $\frac{1}{C} = 1$ por $C$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{C} = 1$ por $C$ .

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Etapa 6.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 1 C$

Etapa 6.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Multiplique $C$ por $1$ .

$1 = C$

Etapa 6.5

Reescreva a equação como $C = 1$ .

$C = 1$

Etapa 7

Substitua $1$ por $C$ em $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + 1}$