Cálculo Exemplos

$(x^{5} - y^{2}) d x = - 2 x y d y$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Some $2 x y d y$ aos dois lados da equação.

$(x^{5} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{5} - y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{5} - y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $x^{5}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{5}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Etapa 2.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 2 x y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Etapa 3.2

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 y$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 y = 2 y$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $2 x y$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $2 x y$ por $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $y$ de $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.2

Fatore $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Etapa 5.3.2.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 4}{2 x}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{x}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(x^{5} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $x^{5} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{5} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $x^{5} - y^{2}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $2 x y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Etapa 7.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Etapa 7.5

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Etapa 7.6

Combine $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Etapa 7.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{2}{x}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{2}{x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $2$ por $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Etapa 9.3.2.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{2}}{x}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.5.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Subtraia $\frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{5} - y^{2}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x^{5} - y^{2})}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{5} - - y^{2}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Multiplique $- - y^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{5} + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{5} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Combine os termos opostos em $- y^{2} - x^{5} + y^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.4.1

Some $- y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{5} + 0}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Some $- x^{5}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{5}}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.5.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x^{3})}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x^{3})}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- x^{3})}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{3}}{1} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2.4

Divida $- x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x^{3} = 0$

Etapa 13.1.2

Some $x^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Etapa 14.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + \frac{x^{4}}{4} + C$