Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x + 1)}{2 y}$ , $y (- 2) = - 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{2 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 2}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 2}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{2 x + 1}{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{2} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 x + 1 d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 x d x + \int d x)$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int x d x + \int d x)$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x^{2} + x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x^{2} + x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x^{2} + x) + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} (x^{2} + x) + K)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} x + K)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = x^{2} + 2 \frac{x}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = x^{2} + x + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + x + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{x^{2} + x + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + x + K}$

Etapa 5

Como $y$ é negativo na condição inicial $(- 2, - 1)$ , considere apenas $y = - \sqrt{x^{2} + x + K}$ para encontrar $K$ . Substitua $- 2$ por $x$ e $- 1$ por $y$ .

$- 1 = - \sqrt{{(- 2)}^{2} - 2 + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{{(- 2)}^{2} - 2 + K} = - 1$ .

$- \sqrt{{(- 2)}^{2} - 2 + K} = - 1$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{{(- 2)}^{2} - 2 + K})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(- 2)}^{2} - 2 + K}$ como ${({(- 2)}^{2} - 2 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {({(- 2)}^{2} - 2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${(- {({(- 2)}^{2} - 2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(- {(4 - 2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Subtraia $2$ de $4$ .

${(- {(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Aplique a regra do produto a $- {(2 + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.5

Multiplique ${({(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${({(2 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.6.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.6.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 + K)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.2.1.7

Simplifique.

$2 + K = {(- 1)}^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 + K = 1$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$K = 1 - 2$

Etapa 6.4.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$K = - 1$

Etapa 7

Substitua $- 1$ por $K$ em $y = - \sqrt{x^{2} + x + K}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $- 1$ por $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + x - 1}$