Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{2} \sec^{2} (2 x)$ e $y (\frac{π}{8}) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (4 y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Etapa 1.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} (\sec^{2} (2 x)))$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \sec^{2} (2 x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (2 x) d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\sec^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{1} \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (u) d u$

Etapa 2.3.6

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\tan (u) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (u) + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (2 x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ por $y$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 2 \tan (2 x) y + K y$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Reordene os fatores em $2 \tan (2 x) y + K y$ .

$- 1 = 2 y \tan (2 x) + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 y \tan (2 x) + K y = - 1$ .

$2 y \tan (2 x) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $2 y \tan (2 x) + K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $2 y \tan (2 x)$ .

$y (2 \tan (2 x)) + K y = - 1$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y (2 \tan (2 x)) + y K = - 1$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y (2 \tan (2 x)) + y K$ .

$y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ por $2 \tan (2 x) + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ por $2 \tan (2 x) + K$ .

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 \tan (2 x) + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{8}$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$ .

$1 = - \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{8}) + K}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$ .

$- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$

Etapa 5.2

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 (4)}) + K} = 1$

Etapa 5.2.1.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4}) + K} = 1$

Etapa 5.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 \tan (\frac{π}{4}) + K} = 1$

Etapa 5.2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + K} = 1$

Etapa 5.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 + K} = 1$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 + K, 1$

Etapa 5.3.2

Remova os parênteses.

$2 + K, 1$

Etapa 5.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 + K$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + K} = 1$ por $2 + K$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 + K} = 1$ por $2 + K$ .

$- \frac{1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2 + K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 + K}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = 1 (2 + K)$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Multiplique $2 + K$ por $1$ .

$- 1 = 2 + K$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $2 + K = - 1$ .

$2 + K = - 1$

Etapa 5.5.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$K = - 1 - 2$

Etapa 5.5.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$K = - 3$

Etapa 5.6

Exclua as soluções que não tornam $1 = - \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K}$ verdadeira.

$Nenhuma solução$