Cálculo Exemplos

$x y d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} d y = - x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$y d y = \frac{1}{y} (- x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y d y = - \frac{1}{y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$y d y = \frac{- 1}{y} (x y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$y d y = \frac{- 1}{y} (y x) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$y d y = \frac{- 1}{y} (y x) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$y d y = - x d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - x d x$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 5.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$