Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Etapa 2.3.2

A integral de $\sin (t)$ com relação a $t$ é $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = t - \cos (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{3}$ por $t$ e $\frac{1}{2}$ por $y$ em $y = t - \cos (t) + K$ .

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{π}{3}$ dos dois lados da equação.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.3.2

Some $\frac{1}{2}$ aos dois lados da equação.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Etapa 4.3.4

Some $1$ e $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.5.1

Divida $2$ por $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Substitua $1 - \frac{π}{3}$ por $K$ em $y = t - \cos (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1 - \frac{π}{3}$ por $K$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$