Cálculo Exemplos

$y \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$y d y = e^{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int e^{x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = e^{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (e^{x} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (e^{x} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (e^{x} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 e^{x} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 e^{x} + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 e^{x} + 2 K$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x}) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 (e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (e^{x} + K)}$